矩阵的4个子空间的关系

如果 \(A: \mathbb C^n \to \mathbb C^m\) ,即 \(A\) 是一个 \(m \times n\) 阶矩阵,子空间定义如下:

  1. 列空间 (column space): $C(A) = {A ^n } ^m $
  2. 行空间 (row space): \(C(A^T) = \{A^T \mathbf {y} \vert \mathbf {y} \in \mathbb {C}^m \} \subseteq \mathbb {C}^n\)

  3. 零空间 (nullspace): \(N(A) = \{ \mathbf {x} \in \mathbb {C}^n\vert A \mathbf {x} = \mathbf {0}\} \subseteq \mathbb {C}^n\)
    零度: \(\mathrm {nullity} A = \dim N(A)\)

  4. 左零空间 (left nullspace): \(N(A^T) = \{ \mathbf {y} \in \mathbb {C}^m\vert A^T \mathbf {y} = \mathbf {0}\} \subseteq \mathbb {C}^m\)

这里会探索这四个子空间的关系

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商空间

在学习泛函的时候,无法理解商空间 (quotient space)的概念,偶然看到周老师的博客,恍然大悟,非常感谢他的知识传授。

这里先写下我的最重要的心得:

商空间 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\) 是向量空间,但不是 \(\mathcal {V}\) 的子空间,但它的每个元素 (element) 并不是向量,而是一个空间(或者说 集合),自然的,它的零元素也是一个空间,可以想一下这个空间是什么。

也就是说,\(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\)空间组成的空间 ,而不是向量组成的空间。而且它和 \(\mathcal {X}\)任何补子空间同构 (isomorphic)

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容斥定理、补空间和直和

学习泛函的过程中,深感自己的线性代数拖后腿,回过头补线性代数的知识。偶然看到一位台湾教授的网站,https://ccjou.wordpress.com/, 获益匪浅,非常感谢。

我在这篇博客主要介绍 容斥定理、补空间和直和, 请和我的另一篇博客 线性变换 结合在一起看

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