商空间

商空间

在学习泛函的时候,无法理解商空间 (quotient space)的概念,偶然看到周老师的博客,恍然大悟,非常感谢他的知识传授。

这里先写下我的最重要的心得:

商空间 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\) 是向量空间,但不是 \(\mathcal {V}\) 的子空间,但它的每个元素 (element) 并不是向量,而是一个空间(或者说 集合),自然的,它的零元素也是一个空间,可以想一下这个空间是什么。

也就是说,\(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\)空间组成的空间 ,而不是向量组成的空间。而且它和 \(\mathcal {X}\)任何补子空间同构 (isomorphic)

1. 商空间 (quotient space)

还是以一个例子开始:

考虑向量空间 \(\mathcal {V} = \mathbb {R}^2\) ,子空间 \(\mathcal {X}\)\(X\) 轴,即 \(\mathcal {X} = \{ (x_1, x_2) \vert x_2 = 0 \}\)。 任何过原点且不属于 \(\mathcal {X}\) 的直线 \(\mathcal {L}\) 都是 \(\mathcal {X}\) 的补子空间。

\(\mathbf {u}\)\(\mathbb {R}^2\) 的任一向量。我们以 \(\mathbf {u} + \mathcal {X}\) 代表过 \(\mathbf {u}\) 点的水平直线,即 \[
\mathbf {u} + \mathcal {X} \overset {\underset {\mathrm {def}}{}}{=} \{ \mathbf {u} + \mathbf {x} \vert \mathbf {x} \in \mathcal {X} \}
\]
称为子空间 \(\mathcal {X}\) 的一个陪集 (coset)。我们可以将陪集 \(\mathbf {u} + \mathcal {X}\) 想象为子空间 \(\mathcal {X}\) 经向量 \(\mathbf {u}\) 平移后的集合。除非 \(\mathbf {u} = \mathbf {0}\) ,陪集 \(\mathbf {u} + \mathcal {X}\) 不包含原点,因此不是 \(\mathcal {V}\) 的子空间。

由上图可知,同一陪集存在不同的建模方式,设 \((\mathbf {u} – \mathbf {v})\in \mathcal {X}\) ,就有 \(\mathbf {u} + \mathcal {X} = \mathbf {v} + \mathcal {X}\) 。 这和同余 (congruence) 的概念非常类似: 令 \(n\) 为正整数,若整数 \(a\)\(b\) 除以 \(n\) 所得的余数相等,也就是 \(a-b\)\(n\) 整除,我们说 \(a\) 同余于 \(b\) 模 (modulo) \(n\) ,即: \[
a \equiv b (\hbox {mod} \; n)
\]
仿造同余关系,给定子空间 \(\mathcal {X}\) ,对于两个向量 \(\mathbf {u}, \mathbf {v}\) ,若 \((\mathbf {u} – \mathbf {v}) \in \mathcal {X}\) ,我们说 \(\mathbf {u}\) 等价于 \(\mathbf {v}\)\(\mathcal {X}\) ,记为: \[
\mathbf {u} \equiv \mathbf {v}(\hbox {mod} \; \mathcal {X} )
\]
也就是说下面 3 种说法是等价的:

  • \((\mathbf {u} – \mathbf {v}) \in \mathcal {X}\)
  • \(\mathbf {u} + \mathcal {X} = \mathbf {v} + \mathcal {X}\)
  • \(\mathbf {u} \equiv \mathbf {v}(\hbox {mod} \; \mathcal {X} )\)

性质:

  1. 自身性: \(\mathbf {u} \equiv \mathbf {u}(\hbox {mod} \; \mathcal {X} )\) ,因为 \(\mathbf {u} – \mathbf {u} = \mathbf {0} \in \mathcal {X}\)
  2. 对称性: 若 \(\mathbf {u} \equiv \mathbf {v}(\hbox {mod} \; \mathcal {X} )\) ,则 \(\mathbf {v} \equiv \mathbf {u}(\hbox {mod} \; \mathcal {X} )\) 。因为 \(\mathcal {X}\) 是子空间,如果 \(\mathbf {u} – \mathbf {v} \in \mathcal {X}\), 则 \(\mathbf {v} – \mathbf {u} \in\mathcal {X}\)
  3. 传递性: 若 \(\mathbf {u} \equiv \mathbf {v}(\hbox {mod} \; \mathcal {X} )\)\(\mathbf {v} \equiv \mathbf {w}(\hbox {mod} \; \mathcal {X} )\) ,则 \(\mathbf {u} \equiv \mathbf {w}(\hbox {mod} \; \mathcal {X} )\)

我们有时候也会将陪集 (coset) \(\mathbf {u} + \mathcal {X}\) 称为 \(\mathcal {X}\) 的等价类 (equivalence class)。

注意:名称的不同是因为对象的不同。针对 \(\mathbf {u}\) ,我们把 \(\mathbf {u} + \mathcal {X}\) 称为 \(\mathbf {u}\) 的陪集;针对 \(\mathcal {X}\), 我们把 \(\mathbf {u} + \mathcal {X}\) 称为 \(\mathcal {X}\) 的等价类。

定义: 商空间 (quotient space) \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\) 是指 \(\mathcal {X}\) 所有等价类 \(\mathbf {u} + \mathcal {X}\) (是一个空间,不是向量)所组成的集合。请注意,这里是指在固定子空间 \(\mathcal {X}\) 的情况下,改变 \(\mathbf {u}, \mathbf {u} \in \mathcal {V}\) 得到的所有的等价类的集合

自然地,商空间的零元素自然也是一个空间,是 \(\mathbf {0} + \mathcal {X} = \mathcal {X}\)

先定义陪集的加法和标量乘法: (这里是人为定义,自然不需要证明) \[
\begin {aligned}
(\mathbf {u} + \mathcal {X}) + (\mathbf {v} + \mathcal {X}) &= (\mathbf {u} + \mathbf {v}) + \mathcal {X} \\
c (\mathbf {u} + \mathcal {X}) &= (c\mathbf {u}) + \mathcal {X}
\end {aligned}
\]
也就是说,我们定义 \(\mathbf {u}\) 的陪集和 \(\mathbf {v}\) 的陪集之和等于 \((\mathbf {u} + \mathbf {v})\) 的陪集;标量 \(c\)\(\mathbf {u}\) 的陪集之积等于 \(c\mathbf {u}\) 的陪集。利用上面的定义,我们可以证明 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\) 是一个向量空间,它满足向量空间的 10 个公理。

很容易证明。但还是请再次注意,商空间的每个元素都是一个集合,即 \(\mathbf {u} + \mathcal {X}\)

2. 商变换

所谓商变换 (quotient transformation),就是从空间 \(\mathcal{V}\) 映射到 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\) 的变换: \[
Q(\mathbf {u}) = \mathbf {u} + \mathcal {X}, \quad \mathbf {u} \in \mathcal{V}
\]
利用陪集加法和标量乘法可以证明该变换是线性变换

\(\mathbf {u}\)\(\mathbf {v}\) 属于 \(\mathcal{V}\)\(c\) 是标量,则: \[
\begin {aligned}
Q(\mathbf {u} + \mathbf {v} ) &= (\mathbf {u} + \mathbf {v}) + \mathcal {X} \\
&= (\mathbf {u} + \mathcal {X}) + (\mathbf {v} + \mathcal {X}) \\
&= Q(\mathbf {u}) + Q(\mathbf {v})
\end {aligned}
\]

\[
\begin {aligned}
Q(c\mathbf {u}) &= (c\mathbf {u}) + \mathcal {X} \\
&= c(\mathbf {u} + \mathcal {X}) \\
&= cQ(\mathbf {u})
\end {aligned}
\]

根据商空间的定义,商变换 \(Q\) 的值域就是商空间 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\) ,而 \(Q\) 的零空间 (核)为 \(\mathcal {X}\) 证明很简单,利用定义即可。我们可以想象商变换 \(Q\) 的具体作为是将向量空间 \(\mathcal {V}\) “坍塌”为 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\)

注意,该变换如果定义域向量空间为 \(\mathcal {V}\) ,则输出的值域为 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\) 。此时线性变换 \(Q\) 不是一一映射的,因为对于 \(\mathbf {u}\)\(\mathbf {v}\) 属于 \(\mathcal{V}\) ,如果 \(\mathbf {u} – \mathbf {v} \in \mathcal {X}\) ,则: \[
\mathbf {u} + \mathcal {X} = \mathbf {v} + \mathcal {X}
\]
\(Q(\mathbf {u}) = Q(\mathbf {v})\) ,不满足一一映射。当然,由于线性变换 \(Q\) 存在零空间 \(\mathcal {X}\) ,自然不是一一映射,这种方式更简单。

但是,\(\mathcal {X}\) 的任一补子空间 \(\mathcal {Y}\) 同构于商空间 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\)

也就是说,如果变换 \(Q\) 的定义域子空间为 \(\mathcal {X}\) 的任一补子空间 \(\mathcal {Y}\), 则输出也是商空间 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\) ,此时变换 \(Q\) 是一一映射且满射,即为同构映射

根据补子空间的定义,如果 \(\mathcal {X} \oplus \mathcal {Y} = \mathcal {V}​\) ,则对于任意 \(\mathbf {u} \in \mathcal {V}​\) 都可以唯一分解为 \(\mathbf {u} = \mathbf {x} + \mathbf {y}​\) ,其中 \(\mathbf {x} \in \mathcal {X}​\)\(\mathbf {y} \in \mathcal {Y}​\) 。因为 \(Q​\) 的零空间为 \(\mathcal {X}​\) ,既有 \(Q(\mathbf {u}) = Q(\mathbf {x} + \mathbf {y}) = Q(\mathbf {y})​\) ,亦即 \(\mathbf {u} + \mathcal {X} = \mathbf {y} +\mathcal {X}​\) 。这表明 \(Q(\mathcal {Y}) = \mathcal{V}/ \mathcal {X}​\)\(Q​\) 为满射证明。另一方面,如果 \(\mathbf {y}_1, \mathbf {y}_2 \in \mathcal {Y}​\)\(Q(\mathbf {y}_1) = Q(\mathbf {y}_2)​\) ,则 \(\mathbf {y}_1 + \mathcal {X}= \mathbf {y}_2 + \mathcal {X}​\), 即 \(\mathbf {y}_1 – \mathbf {y}_2 \in \mathcal {X}​\) ,而 \(\mathbf {y}_1 – \mathbf {y}_2 \in \mathcal {Y}​\)\(\mathcal {X} \cap \mathcal {Y} = \mathbf { \{0 \}}​\) ,故 \(\mathbf {y}_1 – \mathbf {y}_2 = \mathbf {0}​\) 。故 \(Q​\)\(\mathcal {Y}​\) 范围内为一一映射证明。

合并上述结论,可以得出,补子空间 \(\mathcal {Y}\) 同构于商空间 \(\mathcal{V}/ \mathcal {X}\)

因此, \(\dim \mathcal{V} = \dim \mathcal {X} + \dim (\mathcal{V}/ \mathcal {X})\)

也可以用线性变换 \(Q\) 的秩-零度定理证明: \[
\dim \mathcal{V} = \dim N(Q) + \dim R(Q) = \dim \mathcal {X} + \dim (\mathcal{V}/ \mathcal {X})
\]

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