数字信号处理之傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换 (4)

数字信号处理之傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换 (4)

在数字信号处理中,傅里叶变换、拉普拉斯变换以及 \(z\) 变换非常重要,在之前掌握傅里叶级数和傅里叶变换之间关系的基础上,可以更好理解本文的内容。

注意:

在纯数学推导中,我们通常用 \(F(\omega)\)\(f(x)\) 表示傅里叶变换对。但是在数字信号处理中,我们通常用 \(x(t)\)\(x(n)\) 表示模拟和数字时域信号,而用 \(X(j \Omega)\)\(X(e^{j \omega})\) 表示模拟和数字频域的信号。只是符号的不同而已,没有其他区别

数字频域写成 \(X(e^{j \omega})\) 的形式,是为了和拉普拉斯变换的 \(s\) 域 (\(s = \sigma + j \omega\) ) 以及\(z\) 变换的 \(z\) 域 ( \(z= e^ {\sigma + j \omega}\) ) 区分开来。

频域,其实就是 \(s\) 域中 \(\sigma = 1\) 或者 \(z\) 域中单位圆 (\(|z| =1\)) 的特殊形式

这句话,请牢牢记住吧

1. 傅里叶变换补充

\[
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{ x(t) e^{-j{\omega} t}dt} \\
x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{X(j\omega)e^{j{\omega} t}d\omega}
\]

傅里叶变换用于连续时间非周期信号,应用条件请看前一节 数字信号处理之傅里叶级数和傅里叶变换 (1)

在前面博客的基础上,补充傅里叶变换的性质:

\(x(t)\) \(X(j\omega)\)
\(x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{X(j\Omega)e^{j{\Omega} t}d\Omega}\) \(X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{ x(t) e^{-j{\omega} t}dt}\)
\(x(t-t_0)\) \(X(j\omega) e^{-j \omega t_0}\)
\(x(t)e^{j\omega_0 t}\) \(X \big (j(\omega – \omega_0) \big)\)
\(x(at)\) \({1 \over |a|} X({ j\omega \over a})\)
\(\delta(t)\) 1
\(e^{j \omega_0 t}\) \(2 \pi \delta(\omega – \omega_0)\)
\(\cos \omega_0 t\) \(\pi [\delta(\omega – \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0) ]\)
\(\cfrac {d^n x(t)} {d t^n}\) $ (j )^n X(j )$
\(\int_{-\infty} ^t f(\tau) d\tau\) \(\cfrac {X(j \omega)} {j \omega} + \pi X(0) \delta(\omega)\)

证明过程都省略掉了,这里补充一个关于实数和虚数的结论,是在学习二维傅里叶变换后回过头加上的,突然发现用 \(f\) 表示频率,大家见谅看看吧。其实 \(\omega = 2\pi f\) ,大家都知道。

注意到傅里叶变换是复数变换。但所有的物理信号都是实数信号,没有虚部,即: \[
x(t) = x^{\ast} (t)
\]
由此可以得到一个重要结论: \[
X(f) = X^{\ast}(-f)
\]
因为:
\[
\begin {aligned}
X^{\ast}(-f) &= \int_{-\infty}^{\infty} \Big [ x(t) e^{-j 2\pi (-f) t} \Big ]^{\ast} dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} x^{\ast}(t) [e^{-j 2\pi (-f)t}]^{\ast}dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j 2 \pi ftdt} \\
&= X(f)
\end {aligned}
\]
也就是说:
\[
X_r(f) + jX_i(f) = X_r(-f) – jX_i(-f)
\]
\(X_r(f)\) 是偶函数 (\(X_r(f) = -X_r(f)\) ),\(X_i(f)\) 是奇函数 ( \(X_i(f) = -X_r(-f)\) )

自然可以得出:
\[
| X(f) | = |X^{\ast}(-f)| = | X(-f)|
\]
即幅频谱 (magnitude spectrum) 是关于原点偶对称的。这一点在 DFT 进行频谱移动时会用到

2. 拉普拉斯变换

再看下拉普拉斯变换的形式: \[
X(s) = \int_{-\infty}^{\infty}{x(t)e^{-st}dt} \\\\
x(t) = \cfrac {1} {2 \pi j} \oint_C X(s) e^{st} ds
\]
这里 \(s = \sigma + j\omega\)

为什么要出现拉普拉斯变换,就是因为 绝对可积的条件很多时候比较难以满足,譬如某个函数趋于无穷大,于是拉普拉斯提出在原来的函数乘上 \(e^{-\sigma t}\) ,在自然界,指数信号 \(e^{-\sigma t}\) 是衰减最快的信号之一,这样就可以满足绝对可积的条件了。其实拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广,傅里叶变换是 \(\sigma = 0\) 的特殊情况,也可以认为拉普拉斯变换是对 \(x(t)e^{-\sigma t}\) 进行傅里叶变换。

因此 \(X(s)\) 存在,\(x(t)\) 满足:

  1. 在任一有限区间内,\(x(t)\) 分段连续,只有有限个间断点

  2. 当时间 \(t \to \infty\) , \(x(t)\) 不超过某一个指数函数,即满足: \[
    |x(t)| \le Me^{at}
    \]
    式中, \(M, a\) 均为实常数

相比傅里叶变换,这个条件明显要宽松许多

在自动控制领域,我们通常用传输函数(transfer function) 或者系统函数(system function) 表示 线性时不变(LTI)系统输出和输入的关系 \[
H(s) = \cfrac {Y(s)} {X(s)}
\]
还记得线性时不变系统的特性吗?

系统的输出等于系统输入和脉冲响应(impulse response)函数的卷积,自然地,在 \(s\) 域中(这里就不在是频域了),存在 \(Y(s) = X(s) \cdot H(s)\)

3. z变换

对于时间序列 \(\{ x[n] \}_{n = -\infty}^{\infty}\), 我们有单边 \(z\) 变换 \[
X(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} x[n] z^{-n} \\\\
x[n] = \cfrac {1} {2 \pi j} \oint Y(z) z^{n-1} dz
\]
注意: 我们在进行 \(z\) 变换的时候,必须指出 \(z\)收敛域 (region of convergence / ROC), 即 \(z\) 在取何值的时候,\(X(z)\) 收敛

以下是 \(z\) 变换的性质:

注意一下,延迟特性要考虑初始值

下面给出单边 \(z\) 变换的卷积证明 \[
\begin {align}
Y(z) &= \sum_{n =0 }^{ \infty} y[n] z^{-n} \\\\
&= \sum_{n =0 }^{ \infty} \sum_{m = -\infty }^{ \infty} h[m]x[n-m] z^{-n} \\\\
&= \sum_{m = -\infty }^{ \infty} h[m] \sum_{n =0 }^{ \infty} x[n-m] z^{-n} \\\\
&= \sum_{m = -\infty }^{ \infty} h[m]X(z) z^{-m} \\\\
&= X(z) \sum_{m = -\infty }^{ \infty} h[m]z^{-m} \\\\
&= X(z)H(z)
\end {align}
\]

这里在第三行中,我们利用了 \(z\) 变换的延迟特性,并且假设当 \(n \lt 0\) 时, \(x(n) = 0\), \(h(n) = 0\)

总结: 傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换的不同之处只是在于 基函数的不同。

  • 傅里叶变换是分解到复指数函数(或者正弦函数)
  • 拉普拉斯变换是分解到幅度指数变化的正弦函数\(s = \sigma + j\omega\)
  • z变换是分解到周期变化的离散序列\(z = e^{sT}\)

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