数字信号处理之FT, DTFT, DTFS, DFT (5)

在前一节说过 \(X(e^{j\omega})\) 写法的由来,这里还是提一下

模拟信号的频域写成 \(X(j \Omega)\) 的形式

数字信号的频域写成 \(X(e^{j\omega})\) 的形式,

我们引入欧拉公式 \[
e^{j\omega} = \cos \omega + j \sin \omega
\]
因此 \(e^{j 2 \pi} = \cos 2\pi + j \sin 2\pi =1\)

公式证明在另外一篇博客提到过,用麦克劳林公式展开即可证明公式两边相等

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数字信号处理之傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换 (4)

在数字信号处理中,傅里叶变换、拉普拉斯变换以及 \(z\) 变换非常重要,在之前掌握傅里叶级数和傅里叶变换之间关系的基础上,可以更好理解本文的内容。

注意:

在纯数学推导中,我们通常用 \(F(\omega)\)\(f(x)\) 表示傅里叶变换对。但是在数字信号处理中,我们通常用 \(x(t)\)\(x(n)\) 表示模拟和数字时域信号,而用 \(X(j \Omega)\)\(X(e^{j \omega})\) 表示模拟和数字频域的信号。只是符号的不同而已,没有其他区别

数字频域写成 \(X(e^{j \omega})\) 的形式,是为了和拉普拉斯变换的 \(s\) 域 (\(s = \sigma + j \omega\) ) 以及\(z\) 变换的 \(z\) 域 ( \(z= e^ {\sigma + j \omega}\) ) 区分开来。

频域,其实就是 \(s\) 域中 \(\sigma = 1\) 或者 \(z\) 域中单位圆 (\(|z| =1\)) 的特殊形式

这句话,请牢牢记住吧

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