数字信号处理之线性移不变系统 (2)

数字信号处理之线性移不变系统 (2)

国内的大部分数字信号处理教材都会在第一章介绍线性移不变系统(linear time-invariant/ LTI system),但都没有讲得很清楚,这里专门写一篇博客来阐述这个问题。

1. 系统的概念

凡是将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统

用数学公式表示,将输入序列 \(x(n)\) 映射成输出序列 \(y(n)\) 的唯一变换或运算,用 \(T[\;\;]\) 表示,即 \[
y(n) = T[x(n)]
\]

2. 线性移不变系统

2.1 线性性

线性性又称叠加原理 (superposition theorem)

设: \[
y_1(n) = T[x_1(n)], \qquad y_2(n) = T[x_2(n)]
\]
对于任意常数 $a_1, a_2 $, 若有 \[
\begin{align}
a_1 y_1(n) + a_2 y_2(n) &= a_1T[ x_1(n)] + a_2 T[x_2(n)] \\
&= T[a_1 x_1(n) + a_2 x_2(n)]
\end{align}
\]
则系统满足线性性

叠加原理一般表达式为: \[
\sum_{i=1}^N a_i y_i(n) = T[\sum_{i=1}^{N} a_i x_i(n)]
\]
可以得到:零输入产生零输出

证明: 令 \(a_i =0, i=1,2,…, n\), 则根据 \(\sum_{i=1}^{N} a_i x_i(n) \rightarrow \sum_{i=1}^N a_i y_i(n)\), 有 $ 0 0$,得证

线性系统的特点是多个输入的线性组合的系统输出等于各输入单独作用的输出的线性组合

2.1 移不变性 (时不变)

\[
y(n) = T[x(n)]
\]
则对于任意整数 \(m\) ,有 \[
y(n-m) = T[x(n-m)]
\]
系统的映射 \(T[\;\;]\) 不随时间变化,只要输入 \(x(n)\) 是相同的,无论何时进行激励,输出 \(y(n)\) 总是相同的

2.3 线性时不变系统研究的意义

提个问题: 为什么要研究线性时不变系统呢?

它的重要意义在于,系统的处理过程可以统一采用系统的特征描述之一 – 单位采样响应,以一种相同的运算方式 – 卷积运算,进行统一的表示

这句话非常关键,证明如下:

首先,任何信号可以表示成单位采样序列的线性组合(时延序列),即 \[
x(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) \delta(n-m)
\]
我们在之前有说到连续函数和 \(\delta\) 函数 (狄拉克函数)的卷积也是该函数本身,这其实是相通的。

于是,系统的输出可以表示为: \[
\begin{align}
y(n) = T[x(n)]&= T[\sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) \delta(n-m)] \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) T[\delta(n-m)] \quad
\end{align}
\]
这里把 \(x(m)\) 看成系数,很自然地和前面讲的线性系统的特点结合起来

设系统对单位采样序列 \(\delta(n)\) 的响应为 \(h(n)\), 即 \[
h(n) = T[\delta(n)]
\]
\(h(n)\) 为系统的 “单位采样响应”,根据时不变特性,有 \[
h(n-k) = T[\delta(n-k)], \quad k \in \mathbb N
\]
于是上面的式子可以简写为: \[
y(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m) h(n-m)
\]

结论:

LTI系统的输出等于它的单位采样响应和输出的卷积

注:

单位采样序列的定义: \[
\delta(n) =
\begin{cases}
1, & n = 0 \\
0, & n \neq 0
\end{cases}
\]
它和 连续时间系统的 \(\delta(t)\) 函数非常相似,区别在于:

\(\delta(n)\) 定义简单而精确,是一个真实的物理信号;

\(\delta(t)\) 采用极限定义 (还记得之前讲过吗?) ,是一种纯粹的数学抽象,不表示一种实际的信号

2.4 本征函数 – eigenfunction

在线性代数中,矩阵\(x\) 称为方阵 \(A\) 的特征矩阵(eigenvector),如果: \[
Ax = \lambda x
\]
这里 \(\lambda\) 是标量,称为特征值(eigenvalue)

将这个概念扩展到 LTI 系统中,是否存在输入序列 \(\{ x[n] \}\), 使得 \[
y[n] = T\{ x[n] \} = \lambda x[n]
\]
这里 \(\lambda\) 是标量

如果输入为 \(x[n] = e^{j \omega n}\) \[
\begin {align}
y[n] &= \sum_{k = -\infty}^{\infty} h[k] x[n-k] \\
&= \sum_{k = -\infty}^{\infty} h[k] e^{j \omega(n-k)} \\
&= e^{j \omega n} \sum_{k = -\infty}^{\infty} h[k] e^{-j \omega k} \\
&= e^{j \omega n} H(j\omega)
\end {align}
\]
这里 \(H(j\omega)\) 是一个复数,表示 LTI 系统在频率 \(\omega\) 处的频率响应 (frequency response)

使用 magnitude 和 phase 表示 \(H(j\omega)\),有 \[
H(j\omega) = |H(j\omega)| e^{j \angle H(j\omega)}
\]
于是 \[
y[n] = e^{j \omega n} |H(j\omega)| e^{j \angle H(j\omega)} = |H(j\omega)| e^{j (\omega n+\angle H(j\omega) )}
\]

the output of the system is a complex exponential at the same frequency as the input. Only the magnitude and phase are changed.

如果 \(x[n] = z^n\) ,其中 \(z\) 是一个 complex term,则 \[
y[n]= \sum_{k = -\infty}^{\infty} h[k]z^{n-k} = z^n \sum_{k = -\infty}^{\infty} h[k]z^{-k} = H(z)z^n
\]

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