3个中值定理和欧拉公式

本文介绍微积分中常用的中值定理和傅里叶变换中常用的欧拉公式

1. 罗尔(Roller)中值定理

若函数\(f(x)\)满足如下条件:

  • \(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续
  • \(f(x)\)在开区间\((a, b)\)内可导
  • \(f(a) = f(b)\)

则在\((a, b)\)内至少存在一点\(\xi\),使得\(f'(\xi) = 0\)

罗尔定理的几何解释:

在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相同,则曲线上至少存在一点,由该点处引出的切线与\(x\)轴平行,如图1所示

罗尔定理
罗尔定理

2. 拉格朗日(Lagrange)中值定理

若函数\(f(x)\)满足如下条件:

  • \(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续;
  • \(f(x)\)在开区间\((a, b)\)内可导;

则在\((a, b)\)内至少存在一点\(\xi\),使得

\[
f'(\xi) = \cfrac {f(b) – f(a)}{b -a}
\]
证明:构造函数 \(F(x) = f(x) – \frac {f(b) – f(a)}{b -a} x\)

可以知道 \(F(b) = F(a)\),因此用罗尔定理,可以知道至少存在一点 \(\xi \in (a, b)\),使得:

\[F'(\xi) = f'(\xi) – \frac {f(b) – f(a)}{b-a} = 0\]

拉格朗日中值定理的几何解释:

在每一点都可导的一段连续曲线上,至少存在一点。由该点处引出的切线平行于曲线两端点的连线,如图2所示

拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理

3. 柯西(Cauchy)中值定理

设函数\(f(x)\)\(g(x)\)满足如下条件:

  • 闭区间\([a, b]\)上连续;
  • 在开区间\((a, b)\)内可导;

则在\((a, b)\)内至少存在一点\(\xi\),使得

\[
\frac {f'(\xi)}{g'(\xi)} = \cfrac {f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}
\]
证明:构造函数

\[
\phi(x) = f(x) – f(a) – \cfrac {f(b) – f(a)}{g(b) – g(a)}[g(x) – g(a)]
\]

4. 欧拉公式

欧乐公式
欧乐公式

对于任意实数\(\varphi\) 存在 \[
e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi
\]
其实利用麦克劳林公式,有 \[
e^x = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^3}{3!} + \cdots + \cfrac{x^n}{n!} + R_n(x), \\
\qquad R_n(x) = \cfrac {e^{\theta{x}}} {(n+1)!}x^{n+1} ( 0 \lt \theta\lt 1)
\]
\[
\cos \varphi = 1 – \cfrac{\varphi^2}{2!} + \cfrac{\varphi^4}{4!} – \cfrac{\varphi^6}{6!} + \cdots \\
\sin \varphi = \varphi – \cfrac{\varphi^3}{3!} + \cfrac{\varphi^5}{5!} – \cfrac{\varphi^7}{7!} + \cdots
\]
\(e^x\) 的展开式中把 \(x\) 换成 \(i\varphi\) ,带人可得: \[
\begin {align}
e^{i\varphi} &= 1 + {i\varphi} + \cfrac{({i\varphi})^2}{2!} + \cfrac{({i\varphi})^3}{3!} + \cfrac{({i\varphi})^4}{4!} + \cfrac{({i\varphi})^5}{5!} + \cfrac{({i\varphi})^6}{6!} + \cfrac{({i\varphi})^7}{7!} + \cdots \\
& = 1 + {i\varphi} – \cfrac{\varphi^2}{2!} – \cfrac{i\varphi^3}{3!} + \cfrac{\varphi^4}{4!} + \cfrac{i\varphi^5}{5!} – \cfrac{\varphi^6}{6!} – \cfrac{i\varphi^7}{7!} + \cdots \\
&= (1 – \cfrac{\varphi^2}{2!} + \cfrac{\varphi^4}{4!} – \cfrac{\varphi^6}{6!} + \cdots ) + i ({\varphi} – \cfrac{\varphi^3}{3!} + \cfrac{\varphi^5}{5!} – \cfrac{\varphi^7}{7!} + \cdots) \\
&= \cos\varphi + i\sin\varphi
\end {align}
\]

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